[R-br] Design of Experiments: replicatas no ponto central e intervalo de confiança

[Nei]

Bom Dia Cesar,

Você tem razão.

Foi o que eu percebi.

Depois de procurar muito consegui encontrar algumas orientações apenas 
em livros.

Mas estou usando como principal referência o livro:

[Como fazer experimentos, 2001] Benício de Barros Neto, Ieda Spacino 
Scarminio, e Roy Edward Bruns. Copyright © 2001. 85-268-0544-4. Editora 
da Unicamp. /Como fazer experimentos: pesquisa e desenvolvimento na 
ciência e na indústria, 2001/.

Vou explicar a estratégia que estou usando com um exemplo simples: um 
experimento com os fatores Temperatura (T) e Agitação (A) visando 
otimizar como resposta o Rendimento R.

Depois eu comento minhas dúvidas com o planejamento que já tenho.

1 - monto a matriz de planejamento com variáveis codificadas


T   A    R
1   1
1  -1
-1  1
-1 -1

2 - Depois a “Tabela de Planejamento com Variáveis Codificadas” é 
convertida na “Tabela de Coeficientes de Contraste” acrescentando uma 
coluna de “uns” à esquerda para o cálculo da média das respostas (M), e 
à direita é acrescentada a coluna correspondente à interação entre 
Temperatura e Agitação (interação TA) que corresponde aos produtos, 
elemento a elemento, dos códigos das colunas T e A:

M T A  TA
1  1   1   1
1  1  -1  -1
1  -1  1  -1
1  -1 -1   1

3 - Depois de fazer os experimentos tenho a matriz X (Tabela de 
Coeficientes de Contraste) e a matriz linha Y com os Rendimentos e 
calculo a matriz B com os coeficientes do modelo usando a equação:

B = (X^t X)^-1 X^t Y

4 - A próxima etapa é avaliar a significância estatística dos 
coeficientes do modelo para identificar quais efeitos principais e 
interações são significativas.
Nessa etapa eu prefiro usar o "intervalo de confianção" para fazer essa 
avaliação com a equação:

b_i ± t_n − p × (///Erro Padrão/ de b_i )

  Mas preciso estimar o "erro padrão" para cada coeficiente.

5 - Então eu uso a matriz de covariância com a equação:**

V(b) = (X^t X)^−1 σ^2

Reutilizo a matriz (X^t X)^−1 que já foi usada para o cálculo dos 
coeficientes do modelo.

E σ^2 (erro experimental) é substituída pela estimativa da variância s^2 
dos rendimentos obtidos, por exemplo, em 3 replicatas no ponto central.

E a matriz de planejamento fica:

T   A    R
1   1
1  -1
-1  1
-1 -1

0   0

0   0

0   0

Multiplicando a matriz (X^t X)^−1 pela pela estimativa do erro 
experimental s^2 dos rendimentos obtidos, por exemplo, em 3 replicatas 
no ponto central, e tirando a raiz quadrada dos elementos da diagonal 
principal da matriz V(b), obtenho os erros padrão dos parâmetros (sb_0 , 
sb_1 ...).

Mas para o cálculo do intervalo de confiança para cada parâmetro usamos 
o valor de t para n-p graus de liberdade:

Onde onde n = número de linhas da matriz X (experimentos) e p = número 
de parâmetros do modelo

Com a equação:

b_i ± t_n − p × sb_i

E verifico se inclui ou não o zero.

Pelo que entendi eu poderia estimar a variância das observações (σ^2 - 
erro experimental) de três maneiras diferentes:

1 - Através da Média Quadrática dos Resíduos da tabela Anova

2 - Considerando os efeitos de interação de mais alta ordem (Ex: 
interações de três ou mais fatores) como flutuações (ruídos) embutidos 
nas respostas e utilizá-los para estimar o erro experimental nos valores 
dos modelos

3 - Usando o desvio padrão das replicatas no ponto central.

Mas  no meu caso concreto, tenho um planejamento com 4 variáveis que 
geraram 16 experimentos que já foram realizados "sem replicatas".

Portanto eu não tenho como usar a Média Quadrática dos Resíduos da 
tabela Anova porque os experimentos não foram feitos em replicatas e 
portanto não tenho como calcular os resíduos.

E os valores das interações de mais alta ordem dos 16 experimentos que 
já fiz não são muito diferentes dos valores de alguns efeitos principais 
ou de segunda ordem.

Por isso a minha decisão de fazer alguns experimentos no ponto central.

Você teria algum comentário a fazer sobre a estratégia que estou seguindo?

Poderia usar os resultados do ponto central e refazer o cálculo do 
modelo com a matriz X no formato?

M T A  TA
1  1   1   1
1  1  -1  -1
1  -1  1  -1
1  -1 -1   1
1   0   0   0
1   0   0   0
1   0   0   0

Obrigado pela atenção,
Nei


Em 03-11-2019 12:08, Cesar Rabak por (R-br) escreveu:
> Esse assunto está menos para tutorial e mais para livro texto.
>
> Qual obra de referência você está usando para consultar sobre 
> Planejamento de Experimentos?
>
>
> On Sat, Nov 2, 2019 at 10:33 PM Nei por (R-br) 
> <r-br em listas.c3sl.ufpr.br <mailto:r-br em listas.c3sl.ufpr.br>> wrote:
>
>     Prezados e Prezadas,
>
>     Estou estudando Planejamento Fatorial Completo de 2 níveis.
>
>     Fiz um planejamento completo para 4 fatores em 2 níveis e para
>     isso fiz
>     16 experimentos (2^4), sem replicatas.
>
>     Agora pretendo fazer 3 replicatas no ponto central para estimar o
>     desvio
>     padrão e a partir daí calcular o intervalo de confiança e avaliar a
>     significância dos parâmetros  do modelo.
>
>     Mas estou com dificuldades para encontrar um tutorial explicando como
>     calcular o erro padrão e como definir o número de graus de liberdade
>     para o valor de t para poder calcular o intervalo de confiança.
>
>     Alguém saberia me dar uma dica?
>
>     Obrigado,
>
>     Nei
>
>
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>     https://listas.inf.ufpr.br/cgi-bin/mailman/listinfo/r-br
>     Leia o guia de postagem (http://www.leg.ufpr.br/r-br-guia) e
>     forneça código mínimo reproduzível.
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