as vezes algumas estruturas são realmente menos intuitivas do que outras. Essa por exemplo eu não matei de cara, tive que invetigar um pouco. O lance foi perceber que a saída da função summary(fit) era na verdade uma lista com 5 "coisas", e você queria o p-valor da última delas.
imp <- mice(nhanes2)
fit <- with(imp, lm(chl~age+bmi))
summary(fit)
class(fit) #objeto do tipo mira (em geral quando eles são de tipos estranhos na verdade eles são listas)
is.list(fit) #TRUE
length(fit) # 4 objetos na lista
names(fit) # os nomes deles
# avaliando cada um deles
fit$call # não tem o que precisamos nesse caso
fit$call1 # não tem o que precisamos nesse caso
fit$nmis # não tem o que precisamos nesse caso
fit$analyses # é uma lista, contendo 5 modelos. o último deles nos interessa
Ou seja, temos uma lista dentro de uma lista, mas acessar é fácil:
summary(fit[[4]][[5]]) # agora sim é um summary comum
summary(fit[[analyses]][[5]]) # dá no mesmo... é o mesmo acesso
Embora esse summary não tenha o p-valor que você procura, ele possui as informações para consultar a distribuição F e obtê-lo. Somente essa parte final está relacionada à estatística propriamente dita, o resto vem simplesmente de fuçar os objetos do R.
Como dica, se acostume a usar e abusar de funções como str(), class(), names() e length(). Facilita a entender como os objetos estão estruturados.