Você nunca conseguirá
testar a normalidade em uma correlação. . .
E o uso do método de Spearman não é para dados não normais (apenas) mas sim para dados cuja medida não seja intervalar e a única forma de interpretar as diferenças seja via postos (ranks na língua de Shakespeare).
O que seria possível fazer do ponto de vista teórico (como já respondido por outros) seria testar a distribuição dos seus dados para normalidade, mas isso é uma grande bobagem do ponto de vista epistemológico, como se pode demonstrar por um simples exemplo:
Um experimentador¹ submete uma barra de um determinado material suspensa em dois apoios, um fixo e um livre, ambos de materiais refratários e de baixa condução de calor, para diminuir erros sistemáticos, e por meio de marcas na extremidade livre e um aparelho óptico que amplia essa observação submete a barra a uma centena de medidas de temperatura fazendo o levantamento de cem pares de dados temperatura x dilatação.
SE você plotar, fizer qualquer um dos testes propostos para normalidade, etc. Nenhuma das duas "distribuições" de dados seria nada que se assemelhe à gaussiana (Normal).
Entretanto o valor do coeficiente de dilatação térmica determinado, usando a teoria dos erros que afirma que os desvios experimentais nas medidas se distribuem conforme a curva normal de Gauss, será perfeitamente correto!!
No exemplo acima, deliberadamente fugi do problema da questão outra sobre correlação indicar ou não causação, porque o procedimento experimental por si dirime essa dúvida (ele é "intervencional²" por desenho).
Então como a resposta acima pode te ajudar?
Obviamente apontado para o caminho correto.
A forma de você examinar a sua correlação é examinar a distribuição dos resíduos da correlação, e IMNSHO melhor que usar as pajelanças de "testes" de normalidade que dão uma sensação de segurança igual a amuletos para quem tem medo de viajar de navio, é o uso das técnicas gráfica do diagnóstico da correlação.
No R para regressão linear, a qual o testes corr.test é decorrente, o simples comando plot no objeto retornado pela sua regressão mostrará quatro (por defeito) dos seis testes gráficos da sua regressão e você poderá analisar a floresta como um todo para decidir se a análise estatística lhe ajuda a construir sua tese ou a rejeitar a hipótese.
HTH
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Cesar Rabak
[1] Para quem conhece, descrevo em resumo a denominada experiência de Laplace. Aliás, Laplace junto com Gauss são reconhecidos como os desenvolvedores da teoria (da distribuição) dos erros cuja curva leva, em geral o nome do segundo, mas em muitas obras na Europa inclui ambos os pensadores.
[2]
Intervencional. O pesquisador não se limita à simples observação, mas interfere pela exclusão, inclusão ou modificação de um determinado fator. Desenhos de pesquisa, consultado 27 de maio de 2020.